Segitiga

Pengertian Segitiga

Diberikan tiga buah titik A, B dan C yang tidak segaris. Titik A dihubungkan dengan B, titik B dihubungkan dengan titik C, dan titik C dihubungkan dengan titik A. Bangun yang terbentuk disebut segitiga.

                              

                    

gambar : segitiga tersebut merupakan segitiga ABC.

Perhatikan sisi-sisi segitiga diatas. Sisi-sisi yang membentuk segitiga ABC berturut-turut adalah AB, BC, dan AC.

Sudut-sudut yang terdapat pada segitiga ABC sebagai berikut.

Sudut A atau sudut BAC atau sudut CAB.

Sudut B atau Sudut ABC atau Sudut CBA.

Sudut C atau Sudut ACB atau Sudut BCA.

Segitiga merupakan bangun datar yang mempunyai tiga sisi.  Pada ∆ ABC di atas AB, BC dab AC disebut sisi segitiga ABC. Ketiga sisi segitiga saling berpotongan dan membentuk sudut. Titik A, B, C disebut titik sudut.

sudut A atau sudut  ABC, sudut  B atau sudut  ABC dan sudut C atau sudut ABC

Segitiga merupakan bangun geometri yang dibentuk oleh 3 buah garis saling bertemu dan membentuk 3 buah titik sudut. Segitiga adalah suatu bangun datar yang jumlah sudutnya 1800 dan dibentuk dengan cara menghubungkan tiga buah titik yang tidak segaris dalam satu bidang. Bangun segitiga dilambangkan dengan ∆. Jumlah sudut pada segitiga besarnya 180⁰. Sebuah segitiga memiliki tiga titik sudut, tiga sisi dan tiga sudut.

Segtiga ialah sebuah bangun terjadi kalau tiga buah titik yang tidak terletak pada sebuah garis lurus dihubungkan-hubungkan. Segitiga adalah bangun datar tiga dimensi yang dibuat dari tiga buah sisi yang berupa garis lurus dan tiga sudut. Matematikawan Euclid yang hidup sekitar tahun 300 SM menemukan bahwa jumlah ketiga sudut di suatu segi tiga adalah 180 derajat. Hal ini memungkinkan kita menghitung besarnya salah satu sudut bila dua sudut lainnya sudah diketahui.

2.2   Garis-garis Istimewa dan Jenis-jenis Segitiga

a)      Garis-garis Istimewa dalam Segitiga

1.      Garis tinggi = garis tegak lurus yang ditarik dari sebuah titik sudut kesisi depannya.

T_a ialah garis tinggi dari titik sudut A kesisi a.

2.      Garis bagi (bisektris) = garis yang membagi dua sama besar sebuah sudut segitiga d_a ialah garis bagi   sudut   A. Garis  sudut luar sebuah segitiga dinamakan  garis bagi luar. Sebagai lawan dari garis bagi luar ini, garis bagi sudut dalam dinamakan juga garis bagi dalam.

3.      Garis berat (median) = garis dari sebuah titik sudut ketitik tengah sisi depannya. m_a ialah garis berat dari titik sudut A ke sisi a.

Huruf huruf kecil a,b,dan c letaknya tidak setinggi huruf huruf  t , d ,dan m

Huruf huruf itu letaknya lebih rendah

Huruf huruf itu dinamakan orang penunjuk umpama t_{a ,} d_a, m_c.

4.      Garis sumbu = Garis tegak lurus ditengah , ialah suatub garis yang membagi dua sama panjang sebuah sisi dan tegak lurus kepada sisi itu.

Garis yang kedua dan yang terakhir dapat juga dibentuk, meskipun segitiganya tidak ada.

b)     Jenis-jenis Segitiga

Segitiga dibedakan atas 2 bagian, yaitu:

1.      Menurut panjang sisinya:

a.     Segitiga sama sisi

Mempunyai 3 sisi sama panjang. Mempunyai 3 sudut sama besar yaitu 60⁰. Mempunyai 3 simetri lipat. Mempunyai 3 simetri putar.

b.    Segitiga Samakaki

                 

Mempunyai 2 sisi yang berhadapan sama panjang. Mempunyai 1 simetri lipat. Mempunyai 1 simetri putar. Dalam segitiga samakaki sama besar. Kalau 2 buah sudut sebuah segitiga sama, maka segitiga itu samakaki. Dalam segitiga samakaki garis tinggi, garis berat dan garis bagi dari puncak berimpitan. Garis penghubung puncak dua buah segitiga samakaki, yang garis dasarnya berimpit sluruhnya, berdiri tegak lurus kepada garis dasar, membagi dua sama panjang garis dasar itu dan membagi dua sama besar pula kedua sudut puncak kedua segitiga.

c.      Segitiga sembarang

Mempunyai 3 sisi yang tidak sama panjang. Tidak memiliki simetri lipat. Tidak memiliki simetri putar.

2.      Menurut besar sudutnya:

      

a.      Segitiga lancip

                                             

Segitiga yang besar semua sudut < 90^o.

                                     

b.      Segitiga tumpul

Salah satu sudutnya adalah sudut siku-siku yaitu > 90⁰.

c.       Segitiga Siku-Siku

Segitiga Siku-Siku Adalah segitiga yang besar salah satu sudutnya sama dengan 90^o. Sisi di depan sudut 90^o disebut hipotenusa atau sisi miring.

                        

Mempunyai 2 sisi yang saling tegak lurus. Mempunyai 1 sisi miring. Salah satu sudutnya adalah sudut siku-siku yaitu 90⁰. Tidak mempunyai simetri lipat dan putar. Dalam segitiga siku-siku yang sebuah sudutnya 30^o,  panjang sisi siku-siku dihadapan sudut itu sama dengan setengah sisi miring. Kalau dalam sebuah segitiga siku-siku sebuah dari pada sisi siku-sikunya sama panjangnya dengan setengah sisi miring, maka sudut yang dihadapan sisi siku-siku itu 30^o.

Kalau dalam sebuah segitiga yang salah satu daripada sudutnya 30^o, sebuah sisinya setengah daripada sisi yang lain, maka sudut dihadapan sisi yang akhir sudut suku-siku. Dalam segitiga siku-siku panjang sisi berat dari sudut siku-siku setengah daripada sisi miring. Kalau panjang sebuah garis berat ke sebuah sisi, setngah daripada sisi itu, maka sisi itu ialah sisi miring sebuah segitiga siku-siku.

Rumus Keliling Segitiga:

Keliling = panjang sisi 1 + panjang sisi 2 + panjang sisi 3

Rumus Luas Segitiga:

Luas =

Teorema Heron

Teorema Heron biasanya digunakan untuk mencari luas dari suatu segitiga sembarang. a, b dan c adalah ketiga sisi segitiga.

1.  Panjang sisi a, terletak diseberang sudut A.

 2. Panjang sisi b, terletak diseberang sudut B.

3. Panjang sisi c, terletak diseberang sudut C.

Dalil Pythagoras

Segitiga siku-siku

Dalil Pythagoras hanya berlaku pada segitiga siku-siku. Pythagoras menyatakan bahwa:

atau

atau

Keterangan:

a : sisi datar (Panjang dari sisi terpanjang/hipotenusa, selalu terletak diseberang sudut siku-sikunya.)

b : sisi tegak

c : sisi miring

Jika ada tiga buah bilangan a, b dan c yang memenuhi persamaan di atas, maka ketiga bilangan tersebut disebut sebagai Triple Pythagoras. Triple Pythagoras tersebut dapat dibangun menggunakan rumus berikut dengan memasukkan sebuah nilai n dengan n adalah bilangan bulat positif.

2.3    Segitiga Sama dan Sebangun

Untuk membuktikan, bahwa 2 buah

, harus diketahui atau diperlihatkan, bahwa 3 buah unsur segitiga yang satu sama dengan

3buah unsur segitiga yang satu lagi. Unsur unsur ini harus memenuhi beberapa syarat:

1.      Unsur itu yang satu tidak bergantung kepada yang lain, jadi tak mungkin umpamanya kita mengambil tiga pasang sudut, karena sudut yang ketiga bergantung kepada kedua buah sudut yang lainnya.

2.      Unsur-unsur itu harus seletak, yang berarti unsur-unsur pada kedua buah segitiga itu harus mengambil tempat yang sama, jadi urutan-urutan itu sama.

Hal-hal yang dapat kita terangkan berdasarkan  lima hal sama dan sebangun :

I.a Dua buah segitiga sama dan sebangun, jika salah satu sisinya dan sebangun kedua buah    sudut yang terletak pada sisi itu sama. 

I.b Dua buah segitiga sama dan sebangun, jika salah satu sisinya, satu sudut pada sisi itu dan     sudut dihadapannya sama.

II. Dua buah segitiga sama dan sebangun, jika dua buah sisi dan sudut apitnya sama.

III. Dua buah segitiga sama dan sebangun, jika ketiga sisinya sama.

  IV. Dua buah segitiga sama dan sebangun, jika dua buah sisi dan sudut dihadapan salah satu sisi sama, asal sudut dihadapan  sisi yang satu lagi sejenis.

Dua segitiga yang kongruen (sama dan sebangun ) apabila memenuhi salah satu dari 4 syarat berikut :

            Syarat 1           dua sudut dan satu sisi yang diapitnya sama besar.    
            

            Syarat II          ketiga sisi yang seletaknya bersesuaian sama panjang.

Syarat III        dua buah sisi dan sudut yang diapitnya yang letakny bersesuaian sama besar.

Syarat IV        satu sisi dengan salah satu sudut pada sisi itu dan sudut yang di hadapan sisi   tersebut yang letaknya bersesuaian adalah sama besar.

2.4 Ketaksamaan dalam Segitiga

1.      Di dalam sebuah segitiga dihadapan sisi yang lebih panjang sudut yang lebih besar.

Diketahui ∆ ABC :

Bila a > b, maka   A     B

Karena  a > b , b dapat diukurkan pada a (dari C)

 ∆ ADC samakaki, 
jadi 

jadi  

Persamaan I dan II:

D terletak pada CB, jadi

       

                                                                                                                 

2.      Di dalam sebuah segitiga dihadapan sudut yang lebih besar terletak sisi yang lebih panjang.

Diketahui sebuah ∆ ABC :

Jika, maka sudut  A  > sudut   B

Buktikan : a >   b

Bukti ada 3 kemungkinan:

1.      a  = b

2.      a <  b

3.      a >  b

Misalkan a  = b, maka sudut A  = sudut B dan hal ini bertentangan dengan yang diketahui yaitu sudut   A  > sudut   B. Misalkan a <  b, maka sudut A  < sudut  B. Hal ini bertentangan juga dengan yang diketahui maka yang sesuai adalah a b.

3.      Dalam sebuah segitiga tiap-tiap sisinya Lebih kecil daripada jumlah dan Lebih besar daripada selisih kedua sisinya yang lain.

4.      Kalau titik di dalam sebuah segitiga dihubungkan dengan titik sudut sebuah sisi, maka jumlah garis hubung ini lebih pendek daripada jumlah kedua sisi yang lain pada segitiga itu.

Diketahui sebuah ∆ ABC :

P terletak dalam ∆ ABC.

Buktikan            :  p + q <   a + b

Bukti                  : p + q > b + a
                           

2.5 Bentuk-bentuk Segitiga

a.      Enam bentuk dasar segitiga

Beberapa pernyataan tentang segitiga, yang merupakan bentuk segitiga. Enam bentuk dasar yang digunakan untuk membuat segala gambar bentuk. Bentuk dasar yang enam itu ialah:

1.      Membuat garis tegak lurus pada sebuah tittik suatu garis yang diketahui.

2.      Membuat garis tegak lurus dari sebuah titik diluar sebuah garis yang diketahu ke garis itu.

3.      Membagi dua sama panjang sepotong garis yang diketahui dengan sebuah garis tegak lurus (garis ini disebut garis tegak lurus ditengah atau sumbu potong garis itu).

4.      Membuat sebuah sudut yang sama dengan sebuah sudut yang diketahui.

5.      Menarik sebuah garis melalui sebuah titik yang diketahui, sejajar dengan sebuah garis yang duketahui.

6.      Membagi dua sama besar sebuah sudut.

b.      Lima bentuk Pokok pada Segitiga

Dengan enam bentuk dasar kita dapat membuat segitiga. Kita ketahui segitiga terdiri dari 3 unsur ( sisi dan sudut) yang berdiri sendiri ( yang satu tidak bergantung pada yang lain). Liima buah hal yang terdapat yaitu lima buah bentuk pokok segitiga. Segitiga dapat dibuat, jika dikatahui:

1.      Terdapat satu sisi dan dua sudut ( sd.s.sd. ).

2.      Terdapat satu sisi dan dua sudut, tapi salah satu sudut berhadapan dengan sisi ( s.sd.sd. ).

3.      Terdapat du sisi dan satudu sudut ( s.sd.s. ).

4.      Terdapat tiga sisi ( s.s.s. ).

5.     Terdapat dua sisi dan satu sudut, tapi salah satu sisi berhadapan dengan sudut ( s.s.sd. ).

Sebuah ∆ ABC diketahui sisi AC dan BC, B, maka kita dapat mengambar sudut dengan BC dititi B. Maka untuk menentukan arah BA pada titik A, dan CA pada titik C. Terdapat tiga kemungkina yang terjadi yaitu:

1)      CA mungkin terlalu pendek, berarti CA tidak memotong kaki dasar B. Jadi tidak terdapat jawaban nilainya sama dengan nol.

2)      CA panjangnya munkin hanya cukup untuk menyinggung B. dengan demikian jawabannya hanya satu  yaitu ∆ ABC siku-siku di A.

3)      CA panjangnya hanya cukup untuk memotong kaki dasar B. Karena CA memotong kaki dasar dua kali, mak jawabannya ada dua buah.

Tetapi jawaban tidak bergantung kepada panjang CA saja, melainkan juga dari besar sudut B.

Dapat diperoleh:

Jika sudut yang diketahui lancip, maka ada 0,1 atau 2 jawaban.

Jika sudut yang diketahui siku-siku, maka ada 0 atau 1 jawaban.

Jika sudut yang diketahui tumpul, maka ada 0 atau 1 jawaban.